/ back /

Гидродинамические парадоксы

 

Обстоятельства, с которыми мы сталкиваемся, кажутся на первый взгляд совершенно парадоксальными с чис­то математической точки зрения, и предусмотреть их можно только из физических соображений.

 

Ж.Адамар

 

Парадоксом  называют неожи­данное  суждение,   резко  про­тиворечащее     общепринятому. Практическое  значение  парадоксов – двигателей прогресса – состоит в том, что они заставляют по-ново­му посмотреть на основы старой те­ории и построить другую, более совершенную теорию, а зачастую и новую науку. Специальная теория относительности – это разрешение парадокса о конечности скорости передачи информации, квантовая механика – разрешение парадокса о прерывистости сигнала в микро­мире. Парадоксы «породили» физику элементарных частиц и совре­менную космологию, стимулирова­ли развитие современной математи­ки.

Самые фундаментальные парадок­сы, стоящие на развилке наук, фор­мулируют и разрешают гении. Это подметил еще А.С.Пушкин:

О, сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг,

И случай, бог изобретатель.

 

В науке различают опытное сужде­ние, установленное с помощью экспе­римента, и теоретическое суждение, основанное на математическом моде­лировании явления. Поэтому можно говорить о трех типах научных пара­доксов.

Первый из них – противоречие между общепринятым теоретическим суждением и вновь полученным тео­ретическим суждением. Такой самый простой тип парадокса («теория – теория» ) возникает в результате улуч­шения математической модели или усовершенствования метода расчета.

Второй тип парадокса – противо­речие между общепринятым опыт­ным суждением и вновь полученным опытным суждением («опыт – опыт») – заслуживает более подробного рассмотрения, чем мы и займемся, отложив на время в сторону опреде­ление и анализ парадоксов третьего типа.

 

 

 

Парадоксы симметрии

 

Всегда ли симметрия причин при­водит к симметрии следствия? В микромире – не всегда (об этом можно прочитать, например, в книге Р.Фейнмана «Характер физических законов» – Библиотечка «Квант», вып.62). И в гидродинамике тоже не всегда. Картина обтекания симмет­ричного тела, помещенного в сим­метричный поток, зачастую оказыва­ется несимметричной. В этом заклю­чена сущность парадокса симметрии.

На рисунке 1 показано симмет­ричное обтекание кругового цилин­дра потоком воды. Траектории час­тиц жидкости сделаны видимыми (визуализированными) с помощью алюминиевого порошка; вода дви­жется слева направо. Верхняя и ни­жняя половинки симметричны – одна из них является зеркальным отражением другой. Более того, поч­ти симметрично обтекание передней и задней частей цилиндра. Рисунок 2 иллюстрирует обтекание того же цилиндра в других условиях. Сим­метрия «верх-низ» сохранена, но симметрия левой и правой частей нарушена – за цилиндром образо­вались две замкнутые зоны с проти­воположно направленными вращениями частиц жидкости. Наконец, на рисунке 3 представлена картина обтекания цилиндра в условиях, ког­да нарушена симметрия обоих ти­пов. Обтекание нестационарно, из­меняется с течением времени визу­ализация осуществлялась с помощью воздушных пузырьков в воде).

Почему течение теряет симмет­рию? Исчерпывающе ответить на этот вопрос в настоящее время не­льзя. Поэтому подменим его дру­гим, более простым. Например, чем отличаются условия обтекания ци­линдров в трех рассмотренных слу­чаях? Оказывается – разным отно­шением действующих на частицу сил: силы лобового сопротивления и вязкой силы. Это отношение ха­рактеризуется так называемым чис­лом Рейнольдса Rе (безразмерным параметром). При малых числах Rе силы вязкости значительны, тело движется, как дробинка в мёде (ри­сунку 1 соответствует Rе = 1,5, ри­сунку 2 – Rе = 26). При больших числах Rе силы вязкости малы, по­ток становится неустойчивым и даже хаотическим (рисунку 3 соот­ветствует Rе = 2000).

Смена симметрии, их внезапное разрушение – фундаментальный за­кон современной гидродинамики. В реальных условиях абсолютная сим­метрия невозможна, в потоке всегда есть асимметрия. Поэтому если счи­тать, что симметричные причины вле­кут за собой симметричные последст­вия, то почти симметричные причи­ны могут приводить к совсем несим­метричным последствиям. В этом за­ключается одно из объяснений пара­докса симметрии.

 

Парадокс Эйфеля

 

 

    

    Другой парадокс, близкий в физи­ческом отношении к парадоксам сим­метрии, обнаружил в 1912 году зна­менитый французский инженер-стро­итель А.Эйфель (1832-1923). На склоне лет заинтересовавшись гидро­динамикой в связи с вопросом о воздействии ветровых нагрузок на стро­ительные конструкции, Эйфель построил в Париже аэродинамичес­кую трубу. «Продувая» в ней сферы, он обнаружил парадокс, названный впоследствии его именем: вблизи «критического» числа Рейнольдса Rе =150000 сила сопротивления сферы резко (в 4 – 5 раз) уменьшает­ся с увеличением скорости. Этот факт противоречит нашему физическому опыту.

Представим   аэродинамическую силу лобового сопротивления в виде  Пропорциональность , где – плотность,  – скорость не­возмущенного набегающего потока, а  – характерный размер тела, легко получить из соображений размернос­тей (проверьте!). А коэффициенты 1/2, π/4,  записаны для удобства. Безразмерный коэффициент сопро­тивления  можно определить из экспериментов. Он обычно убывает с ростом числа Rе, т. е. с уменьшением сил вязкого трения.

Парадокс Эйфеля обнаружен не только при обтекании сферы, но и при обтекании других тел. На ри­сунке 4 представлена полученная экc­периментально зависимость  для сферы, кругового цилиндра и диска, при этом тела имеют один и тот же диаметр . На участке резко­го изменения  для сферы и ци­линдра наблюдается разброс экспе­риментальных данных, показанный на рисунке «дорожкой». Коэффи­циент сопротивления диска практи­чески постоянен – для тел с остры­ми кромками парадокс Эйфеля не справедлив. Объяснение парадокса заключается в том, что вблизи кри­тического значения числа Рейнольдса происходит переход от плавного, стационарного течения, называемо­го ламинарным, к нестационарному, хаотическому движению, называемо­му турбулентным. Малое изменение Rе приводит к большой перестройке течения.

Такая ситуация, когда малое изме­нение какого-либо параметра приво­дит к коренному изменению течения, типична для гидродинамики. Имен­но она объясняет многочисленные парадоксы расходимости опытных данных – проведенные при, каза­лось бы, одних и тех же условиях измерения они оказываются совершенно различными. Поэтому при моделиро­вании обтекания тел в аэрогидроди­намических трубах следует учиты­вать влияние стенок трубы, поддер­живающих модель устройств, неоднородностей в набегающем потоке, физико-химических свойств поверх­ности модели (шероховатость, смачиваемость, теплопроводность). Сде­лать это чрезвычайно трудно, если не сказать – невозможно.

 

Парадокс Дюбуа

 

Одним из основателей эксперимен­тальной гидродинамики был фран­цузский военный инженер П.Дюбуа (1734 – 1809). В предисловии к свое­му классическому трехтомному тру­ду «Принципы гидравлики» он пи­сал: «Мы рассматриваем сопротив­ление воды и воздуха совершенно новым способом, не пользуясь вовсе прежней теорией, которая оказалась столько раз противоречащей опыту, и стараясь отыскать в опытах, до нас не имевшихся, новые точки зрения на предмет».

Исследования Дюбуа показали, что сила сопротивления, действующая со стороны потока на покоящееся в тру­бе тело, в определенном диапазоне чисел Rе меньше, чем сила сопро­тивления, действующая на движу­щееся с той же скоростью тело в покоящейся воде. В соответствии с принципом относительности, резуль­тат не должен зависеть от того, дви­жется ли тело в покоящейся жидкос­ти или жидкость обтекает покоящее­ся тело. Как же объяснить парадокс Дюбуа?

Конечно, влиянием тех факторов, о которых уже упоминалось. Поток в опытном бассейне или в аэродина­мической трубе более неравномерен, чем в «спокойном» море или атмос­фере, поэтому переход к турбулен­тному режиму здесь наступает рань­ше, т.е. при докритических значениях Rе, след за телом сужается, сопротивление падает. Парадокс Дюбуа не утратил своей актуаль­ности и в наше время. Различие меж­ду результатами трубного экспери­мента и натурного, проводимого в условиях реального полета, остает­ся для гидродинамиков проблемой номер один.

Путь к истине слишком сложен – об этом предупреждают нас фило­софы. Может быть, с излишней до­лей пессимизма, но вот что говорил свыше трех столетий назад выдаю­щийся французский физик и фило­соф Б.Паскаль (1623 – 1662): «Исти­на – слишком тонкая материя, а наши инструменты слишком тупы, чтобы ими можно было прикоснуть­ся к истине, не повредив ее. Достиг­нув истины, они сминают ее и откло­няются в сторону, скорее ложную, нежели истинную».

Если вы видели когда-нибудь вер­толет на стоянке, то должны были заметить, как низко, почти на метр, свисают его лопасти. Лишь в полёте они распрямляются. Точно так же крыло самолета под действием аэро­динамических сил изменяет в по­лете свою форму. Изменяет незна­чительно, а результаты скрупулез­ных (и дорогих!) эксперименталь­ных исследований оказываются со­всем неверными. Таким образом, для объяснения несоответствия меж­ду результатами трубного и натур­ного экспериментов приходится учитывать, кроме всего прочего, уп­ругие свойства конструкций, подвер­женных действию гидродинамичес­ких сил.

 

Парадокс Эйлера – Даламбера

 

Подошло время сказать о парадоксах третьего типа. Кроме парадоксов типа «теория-теория» и «опыт-опыт», существуют еще парадоксы типа «теория-опыт» (или «опыт-тео­рия»). Для них характерно резкое противоречие между теоретическими результатами и тем, что мы называем опытом, интуицией или просто «здра­вым смыслом».

Самый известный из парадоксов типа «теория-опыт» – это парадокс Эйлера – Даламбера. В 1742 году петербургский академик Л.Эйлер рассчитал сопротивление цилиндра, движущегося в жидкости, лишенной трения, и получил удивительный результат – сила сопротивления ока­залась равной нулю! Спустя семь лет выдающийся французский меха­ник Ж.Даламбер с помощью некото­рых ухищрений рассчитал обтека­ние произвольного тела конечного объема и получил все тот же оше­ломляющий результат – нулевое сопротивление.

Такой вывод резко отличался от «здравого смысла». Даламбер, как и каждый из нас, из личного опыта знал, что для поддержания движения к телу необходимо приложить силу тяги, преодолевающую силу сопро­тивления (именно поэтому летатель­ные аппараты, корабли и подводные лодки снабжены двигателями). Да­ламбер не смог объяснить получен­ный результат и с горечью заметил, что нулевое сопротивление – «един­ственный парадокс, разрешение ко­торого я оставляю геометрам буду­щих времен».

Прямо скажем: геометрам (гидро­динамикам и математикам) достался в наследство крепкий орешек. Пре­жде чем его раскалывать, выясним геометрический смысл парадокса. Течение, исследованное Эйлером и Даламбером, симметрично, т. е. пра­вая половина течения совпадает с левой (аналогично рисунку 1). Сле­довательно, совпадающая с направ­лением невозмущенного потока со­ставляющая импульса (количества движения) струйки, обтекающей тело, постоянна: в некотором сече­нии слева вдали от тела она такая же, как в некотором сечении справа вдали от тела. В соответствии с зако­ном сохранения импульса, на струй­ку, как и на помещенное в нее тело, не действует сила сопротивления. Ма­тематическая модель, использован­ная Эйлером и Даламбером, оказа­лась переупрощенной. Реальные те­чения несимметричны (подобно тем, которые изображены на рисунках 2 и З).

 

    

 

 

Конечно, вы уже догадались, что именно трение (вязкость) нарушает симметрию. Именно оно ответствен­но за образование следа за телом. Так что же, тайна парадокса Эйлера – Даламбера разгадана? Нет, разгадка парадокса оказалась намного слож­нее. Давайте снова посмотрим на рисунок 4. Даже при очень больших, предельно достижимых в настоящее время значениях Rе, когда силы вяз­кости пренебрежимо малы, коэффи­циент сопротивления оста`тся конечным. Значит, и в невязкой жидкости может возникнуть асимметрия и не­нулевое сопротивление. Именно та­кое течение «построил» в 1868 году знаменитый немецкий физик Г.Гельмгольц (1821 – 1894), снявший последнее покрывало с парадокса Эйлера –Даламбера. Обтекание ци­линдра по модели Гельмгольца пока­зано на рисунке 5, за цилиндром образуется след – область покоя­щейся жидкости. Таким образом, реальная математическая модель дол­жна учитывать трение и отрыв потока от тела.

Кроме парадокса Эйлера – Далам­бера, известно много парадоксов «пе­реупрощения математической моде­ли». Так, безотрывное обтекание ос­трой кромки пластины (рис.6, а) при­водит к «парадоксу бесконечности» – скорость жидкости при подходе к кромке неограниченно растет. Более того, для разворота потока на 180° требуется так называемая цен­тростремительная сила. В силу треть­его закона Ньютона на пластину бу­дет действовать такая же по величи­не сила (ее называют подсасываю­щей). К чему она приложена? К кромке пластины, т. е. к точке! Ре­альное обтекание кромки – отрыв­ное, от нее отходит линия разрыва касательной составляющей скорости (окрашенная на рисунке 6,6 в крас­ный цвет), скорость на кромке ко­нечна.

 

Корректность математической модели

 

Разработка непарадоксальной мате­матической модели, адекватно опи­сывающей реальный процесс, – очень сложное дело. В большинстве случа­ев об этом приходится только меч­тать, поэтому известный математик Д. Биркгоф в шутку предложил раз­делить гидродинамиков на экспери­ментаторов, которые наблюдают то, что нельзя описать, и теоретиков, которые описывают то, что нельзя наблюдать.

Пришла пора сделать выводы. Во избежание парадоксов математичес­кая модель течения не должна быть переупрощенной – следует учиты­вать тот фактор, пренебрежение ко­торым приводит к парадоксу. С точ­ки зрения физика, такое требование естественно. Однако математик под­ходит к этому вопросу строже (тако­ва его профессия). С точки зрения математика, постановка задачи дол­жна быть корректной. Корректность включает три требования к математи­ческой модели: существование реше­ния, его единственность и устойчи­вость.

Разумеется, отсутствие решения является следствием переупрощения модели. Так, сходящееся течение в угле со скоростями, направленными по радиусу, существует при любом значении числа Рейнольдса (рис. 7, а).  Решение, описывающее расходящееся радиальное течение (рис.7, б), существует лишь при малых значениях Rе, меньших некоторого критического значения Rе*. При Rе > Rе* такое решение отсутствует. В опыте при достаточно больших значениях Rе наблюдается нестационарное, отрывное движение – в этом заключается разгадка пара­докса отсутствия радиального расхо­дящегося решения в угле.

Ну а как поступить, если имеется несколько  решений?   Допустим,   при

 

 

 

решении квадратного уравнения вы получили два корня. Какой из них выбрать? Давайте переберем все воз­можные случаи, обратившись к опы­ту. Если в опыте не реализуется ни один из возможных корней, то это означает, что математическая модель – квадратное уравнение – неспра­ведлива. Если в опыте реализуется лишь один из полученных корней, то он оказывается устойчивым по отно­шению к малым внешним возмуще­ниям, а другой корень – неустойчи­вым. Наконец, имеется третья воз­можность – когда могут реализо­ваться оба решения. Если при значе­нии параметра х = х₀ происходит смена одного решения   на другое , то говорят о бифур­кации решения (рис.8, а). Если в некотором диапазоне значений пара­метра ( ) существуют оба  решения, то говорят о гистерезисе (рис.8б): одно решение ( ) реализуется, если параметр х уве­личивать, начиная от некоторого зна­чения (х < , прямой ход), другое решение (у = у₂) реализуется, если параметр х уменьшать, начиная от некоторого значения (х > х₂, обрат­ный ход). В этом случае выбор реше­ния зависит от предыстории процес­са. (Гистерезисные режимы обтека­ния крыла наблюдаются, например, вблизи значения угла атаки α, соответствующего максимальному значе­нию коэффициента подъемной силы ).

 

 

С парадоксами неединственности ученые столкнулись еще на заре раз­вития авиации. В 1910 году на авиа­ционном салоне под Парижем моло­дой ученый из Румынии А.Коанда поднял в воздух сконструированный им самолет, который смело можно назвать прототипом современных реактивных летательных аппаратов. Из сопел, расположенных по бокам фюзеляжа, вырывались огненные струи. После успешного полета отде­лавшийся ушибами изобретатель при­нимал восторженные поздравления. «Молодой человек! Вы опередили эпоху на 30, а то и на все 50 лет!» – сказал ему Эйфель. Но триумфатор думал о другом – о странном поведе­нии огненной струи во время разбега самолета. Струя вместо того чтобы отражаться от специально установ­ленных металлических щитков, за­щищающих фанерный фюзеляж от воспламенения, прижималась к ним, разворачиваясь в обратную сторону. Открытие, названное впоследствии «эффектом Коанда», сначала не привлекло к себе внимания. В течение последующих 25 лет Коанда, уже известный авиаконструктор, самос­тоятельно проводил опыты, отыски­вая своему открытию возможные об­ласти применения. Сегодня эффект Коанда используется при разработке двигателей для аппаратов на воздуш­ной подушке и суден с подводными крыльями, для повышения тяги ре­активных сопел, для торможения са­молетов при посадке и для глушения шума реактивных двигателей.

С эффектом Коанда мы встречаем­ся каждый день, досадуя, что струя, вытекающая из носика чайника, вдруг прилипает к его поверхности и льется  мимо чашки. Такой поворот струи и прилипание к твердой поверхности гидродинамики в шутку называют еще «эффектом чайника». На рисун­ке 9, а показана схема истечения струи из канала без поворота, а на рисунке 9, 6 – с поворотом. Получено два решения. Но разгадан ли парадокс Коанда? К сожалению, нет – неиз­вестно, при каких условиях реализу­ется тот или иной режим.

Мы не обсудили еще один крите­рий корректности математической модели – устойчивость решения. Случайные, неустойчивые по отно­шению к малым возмущениям про­цессы нельзя исследовать с помощью классического аппарата математики. Определить отдельную беспорядоч­ную траекторию невозможно, как невозможно предсказать, будет ли дождь через месяц. В лучшем случае можно рассчитывать на получение некоторых общих выводов. Очень хорошо об этом сказал русский поэт и философ В. С. Соловьев.

 

Природа с красоты своей

Покрова снять не позволяет

И ты машинами не вынудишь у ней,

Чего твой дух не угадает.

 

Парадокс неустойчивости заклю­чается в том, что обтекание тела при стационарных внешних условиях за­висит от времени. Пример нестацио­нарного течения демонстрирует, на­пример, рисунок 3. Обтекание стано­вится нестационарным, когда число Рейнольдса превышает некоторое критическое значение. Доподлинно известно, что нестационарность вы­звана неустойчивым характером от­рыва потока от тела, но до оконча­тельного разрешения парадокса не­стационарности еще далеко.

 

/ back /