/ back /

 

Асимптотические методы в гидродинамике (беглый обзор)

 

Истина слишком сложна; нам же дано

                                                                                                                           постичь лишь приближения к ней.

Джон фон Нейман

 

 

Введение. Уравнения гидродинамики настолько сложны, что получить их точные решения в интересных для практики случаях обычно не удаётся. Поэтому пришлось обратиться к приближённым решениям. Они пребывают в трёх видах: численные, эмпирические и асимптотические. Численное решение условно корректной задачи является ремеслом, а не научным достижением. Численное решение некорректной задачи – преступление, белоцерковщина.

Эмпирические решения добывают с помощью интуиции и эксперимента. Асимптотическое решение получают с помощью методов возмущений. Методы возмущений приспособлены для решения уравнения , когда параметр  можно считать малым  или большим . Один случай переходит в другой, например, с помощью замены  В широком смысле слова методы возмущений лежат в основе любой теории (Евклида, И. Ньютона, Ч. Дарвина, А. Смита, К. Маркса, З. Фрейда, А. Эйнштейна, В. Вернадского и т. д.),  ибо каждая из них – это идеализация реального явления, построенная в предположении, что некоторые определяющие параметры устремлены к своим предельным значениям. Методы возмущений – это не дань моде и не абстрактный математический аппарат, а стиль работы естествоиспытателя. Они являются главенствующими как в фундаменталь­ных, так и в прикладных исследованиях, успешно конкурируя с вычислительными методами. Лучше сказать – оба эти метода взаимно дополняют друг друга. Корректность методов возмущений, зародившихся в начале 19-го века, до сих пор не доказана. Такова драма идей: физики строят формальные асимптотические разложения (Ван-Дайк, 1967), а математики (Ильин, 1989) пытаются доказать, что они действительно являются  асимптотическими разложениями поставленной задачи. На эту тему известен классический анекдот.

   Принимают математика в престижный английский клуб.

- Вы должны вести себя в соответствии с правилами нашего клуба: не говорить того, чего не знаете точно, не судить по нескольким членам обо всех остальных и не придавать излишнего значения мелочам.

- Значит, прощайте асимптотические методы.

Прикладная математика соединяет два начала: механистическое, извлекающее информацию с помощью непосильных для человека, но посильных для компьютера численных расчётов, и творческое, производящее снаряды для пробивания брони сложнейших уравнений математической физики. Первое начало–это вычислительная математика, второе – асимптотология. Асимптотические методы упрощают математическую модель явления, сокращают число переменных, допускают линеаризацию, избавляют от малых параметров и пр.

 

 

Три великих еврея (слева направо): К. Маркс (1818-1883), З. Фрейд(1856-1939), А. Эйнштейн (1879-1955)

Методы возмущений не были открыты в результате внезапного озарения одного математика. Из многочисленных ученых, занимавшихся разработкой методов возмущений, кроме А. Пуанкаре,  следует назвать еще двух выдающихся математиков. Французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749-1827) широко использовал в своих исследованиях ряды. Решая задачу о равновесии большой невесомой капли на плоскости, он впервые использовал метод возмущений. Это был интуитивный прорыв в неизвестное. Лапласу принадлежит удивительная по емкости харак­теристика методов возмущений: "Математический метод тем более точен, чем он более необходим".

Французский математик Огюстен Луи Коши (1789-1857), один из основателей математического анализа, дал четкое построение теории сходящихся рядов, указав признаки их сходимости. Вот как об этом пишет Клайн (1984): «С самого начала работы по обоснованию математического анализа носили сенсационный характер. После заседания Парижской академии наук, на котором Коши изложил свою теорию сходимости рядов, Лаплас поспешил домой и остался там взаперти до тех пор, пока не проверил на сходимость все ряды, которые он использовал в своей ″небесной механике″. Велика же была его радость, когда он обнаружил, что ряды сходятся. Как ни парадоксально, сам Коши отнюдь не был склонен  сковывать себя требованиями математической строгости. Написав три учёбника в 1821, 1823 и 1829 гг. главным образом с целью строгого обоснования математического анализа, Коши в своих исследованиях продолжал полностью игнорировать строгость. Дав определение непрерывности, Коши никогда не доказывал, что рассматриваемые им функции непрерывны. Неоднократно подчёркивая важность сходимости рядов и несобственных интегралов, Коши оперировал с бесконечными рядами, преобразованиями Фурье и несобственными интегралами так, словно никаких проблем сходимости не существовало. Определив производную как предел, Коши предложил и чисто формальный подход, аналогичный предложенному Лагранжем. Коши допускал и полусходящиеся (осциллирующие) ряды, например 1-1+1-1+..., и перестановку членов в так называемых условно сходящихся рядах (некоторых рядах с положительными и отрицательными членами). Совершал он и другие ″преступления″, но безошибочная интуиция позволяла ему угадывать истину даже в тех случаях, когда ему не удавалось установить её в соответствии со стандартами строгости, присущими его же собственным учебникам математического анализа».

Естественно, что в то время расходящиеся ряды никакого интереса для Коши не пред­ставляли. Его авторитет был настолько велик, что практическое применение асимптотических разложений надолго задержалось. В настоящее время асимптотические, как правило, расходящиеся ряды яв­ляются важнейшим инструментом исследования.

 

   

                

 

Три великих француза (слева направо): Ш. Фурье (1768-1838), О. Коши (1789-1857), А. Пуанкаре (1854-1912)

  История методов возмущений знает два триумфальных момента. В 1846 году французский астроном, иностранный член-корреспон­дент Петербургской Академии наук Урбен Лаверье открыл планету, названную впоследствии Нептуном. Открытие было весьма необычным: Лаверье не воспользовался телескопом, как это всегда делали для подобных целей его предшественники. Он открыл новую планету "на кончике пера", исследуя возмущения, которые она, загадочная невидимка, вносила в движение другой планеты – Урана. В том же 1846 году по координатам, рассчитанным Леверье, неизвестную дотоле планету обнаружил на небосклоне (уже с помощью телескопа) немецкий астроном Иоганн Балле.   Это был первый триумф методов возмущений. А второй – открытие в 1905 году (тоже "на кончике пера"!) выдающимся немецким гидродина­миком Людвигом Прандтлем (1875-1953) так называемого пограничного слоя – тонкой прилегающей к поверхности тела области, где очень сильно изменяется скорость потока слабовязкой жидкости. Это открытие имело важнейшее значение для дальнейшего развития гидродинамики. Сегодня не только физики, но и математики называют пограничным слоем узкую область или малый интервал, в котором функция претерпевает резкое изменение (см. Андрианов, 2004). Термин «асимптотология» предложил М. Крускал – тот самый, который (вместе с Н. Забуски) на правах первооткрывателя ввёл термин «солитон». Трудно дать определение асимптотологии. Правильнее  сказать, что сама математика является ветвью асимптотологии. И это – не только юмор.

Многие методы возмущений разработаны ad hoc. Их так много, что у математиков возник повод для шутки: «Сколько задач, столько и методов возмущений».

Уравнения Навье-Стокса обладают свойством асимптотического расслоения: разделения области решения на зоны (внутренние области), в каждой из которых справедливы свои оценки, а значит, и свои разложения. Как раз пограничный слой – это простейший пример такого расслоения.

  В гидродинамике наиболее широкое применение нашёл   метод сращивания асимптотических разложений. Он эффективен, когда имеется, по меньшей мере, два различных по порядку величины масштаба длины (два слоя), определяющих две характерные области: внешнюю и внутреннею, – в каждой из которых справедливо свое асимптотичес­кое разложение. Внутреннее решение должно сращиваться с внешним – разложением в соседней области. Принцип сращивания можно выразить следующим каламбуром: внутреннее разложение внешнего разложения равно внешнему разложению внутреннего разложения.

Представьте себе, что у вас имеется фотография (внешняя об­ласть) с неясной, но важной деталью, которая ввиду малых разме­ров выглядит на снимке особой точкой (внутренняя область). Если рассмотреть эту точку отдельно с помощью лупы, то есть при много­кратном увеличении (растяжении координат), то где-то на ее пери­ферии вы заметите те же подробности, которые едва различались в окрестности особой точки на неувеличенном фотоснимке.

 В работе Ильина (1989) с помощью метода сращивания асимптотических разложений получено решение эллиптического уравнения с частными производными достаточно общего вида с малым параметром при старших производных.

В рамках глобальной теории с помощью асимптотологии упрощается математическая модель задачи. В рамках локальной теории, т. е. в окрестности особых многообразий меньших размерностей, чем размерность исходной задачи, с помощью асимптотологии удаётся построить упрощённую математическую модель течения.

 Асимптотология является первой скрипкой при решении локальных задач. На складках, коими могут быть изломы поверхности обтекаемого тела, линии отрыва, пересечение поверхностей разрыва друг с другом, пространственно–временная сингулярность и прочее, нарушается постулируемая гладкость решения, поэтому контроль корректности глобальной задачи в окрестности складок, где «сконцентрирована» нелинейность, особенно важен. Невозможно построить глобальную теорию без локальной, корректная математическая модель должна иметь локальные асимптотические разложения в окрестности всех складок.

Асимптотическое решение – это  его разложение в ряд с учётом асимптотического расслоения (Бетяев, 2006). Для его нахождения необходимо, чтобы математическая модель задачи содержала хотя бы один малый параметр.

Параметры бывают геометрическими и физическими. Геометрический параметр  характеризует удлинение зоны. Физический параметр характеризует учёт некоего физического процесса в математической модели течения.

Параметр ,  определяющий априорную толщину слоя, т. е. в явном виде заданную в математической модели, эффективно, во всех трёх асимптотических смыслах ( ) применяется в теории крыла, в задачах истечения и т. д. (Бетяев 2007б).

Физический параметром, ответственным за влияние силы тяжести,  является число Фруда  где  – характерная скорость потока,  – характерный размер области течения,  g – ускорение силы тяжести. Физическим параметром, ответственным за влияние капиллярности на эволюцию свободной поверхности или контактного разрыва, является число Вебера   где  – плотность жидкости,    – коэффициент поверхностного натяжения. Если свободная поверхность или контактный разрыв отходят от тела, то необходимо задать ещё один параметр – краевой угол. Этот пример показывает, что для характеристики одного физического явления одного безразмерного параметра может оказаться недостаточно. В качестве малого параметра в асимптотических методах используются различные комбинации чисел We

 

 

 

 

Рис 1. Типичные задачи локальной теории отрывных течений: а - отрыв от гладкой поверхности тела  б – отрыв от острой кромки  в, г -   обтекание слабого излома поверхности тела (значения те же, что и в задаче а), д – обтекание малой неровности (значения те же, что и в задаче а), е – короткий пузырь на профиле (кромочный отрыв,

и Fr, например: Fr, 1/ Fr, We, 1/ We, lnFr  и некоторые другие. Широко применяются линейные теории (Гуревич, 1979).

Введение числа Маха M, характеризующего сжимаемость среды, уводит нас в мир газовой динамики с её двумя «жемчужинами»: теорией трансзвуковых течений и теорией гиперзвуковых течений.

 «Самым главным» физическим параметром в гидродинамике является число Рейнольдса Re, поскольку оно непосредственно входит в уравнение Навье-Стокса, характеризуя отношение инерциальных сил к вязким. В зависимости от его порядкового значения получаются различные типы течений и управляющих ими уравнений.

* Если  то течение будет ползущим; справедливы уравнения Стокса.

* Если  то течение описывается полными уравнениями Навье-Стокса.

   *Если то течение слабовязкое, описывается  уравнениями Эйлера. Задача о течении слабовязкой жидкости осложняется тем, что малый параметр ( ) стоит при старшей производной. На твёрдой поверхности образуются пограничные слои, тангенциальные разрывы скорости во внутреннем представлении становятся слоями смешения. Толщины тонких вязких слоёв могут быть не заданы заранее, а являться функциями числа Рейнольдса. Если удаётся уменьшить число независимых переменных до 1, то уравнение пограничного слоя сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению 4-го порядка для функции y(x). В каноническом виде оно выглядит следующим образом (Мексин, 1961):

где   константы. С помощью асимптотологии были построены локальные теории отрыва ламинарного пограничного слоя. 

Локальная теория отрыва потока. Оказалось, что в окрестности  концепция пограничного слоя неприменима, она приводит к парадоксу. Здесь течение асимптотически расслаивается, пограничный слой взаимодействует с внешним потоком, индуцируя градиент давления, приводящий к отрыву потока. Типичные трёхслойные (трёхпалубные) задачи асимптотической теории отрывных течений представлены на рис. 1 (Сычёв, 1987). Ширина рассматриваемых зон порядка  где    Толщина к-ой зоны равна где

Эти результаты были обобщены на пространственные течения, внутренние течения  и течения сжимаемого газа (Нейланд, 2003). Появились задачи с многопалубным (к>3) расслоением.

Нестационарный отрыв на подвижной поверхности часто называют разрушением пограничного слоя. Он происходит не на самой поверхности, а внутри пограничного слоя в точке одновременного обращения в ноль значений трения и продольной составляющей скорости в системе координат, связанной с этой точкой (условие Мура-Ротта-Сирса).

Исследование нестационарности в трёхпалубных моделях показало, что они существенны в вязком пристеночном слое 3, где течение медленное по сравнению с течениями в других слоях. Были получены волновые решения в виде волн, бегущих как вверх по потоку, так и вниз, как затухающих, так и возрастающих по амплитуде  (см. Жук, 2001). Так была установлена связь теории вязко-невязкого взаимодействия с теорией гидродинамической устойчивости.

Теория устойчивости. В теории гидродинамической устойчивости следует выделить  линейную теорию, слабонелинейную теорию и теорию  вязко-невязкого взаимодействия.

Теория малых возмущений описывается линейными уравнениями Навье-Стокса, которые в простейшем случае плоскопараллельного течения сводятся к уравнению Орра-Зоммерфельда – обыкновенному дифференциальному уравнению 4-го порядка. Такая задача корректна и поэтому была решена численно без особых затруднений. Была вычислена нейтральная кривая, отделяющая в плоскости волновое число) устойчивое решение от неустойчивого. На рис. 2 показана нейтральная кривая для пограничного слоя Блазиуса (  критические значения числа Рейнольдса и волнового числа). Физическая природа уравнения Орра-Зоммерфельда была обнаружена с помощью асимптотических методов. Оказалось, что решение расслаивается. Так,  для пограничного слоя Блазиуса на верхней ветви нейтральной кривой имелось пять слоёв, а на нижней – три (Дразин, 2005).

Линейная модуляция комплексной амплитуды  А(x,t) наиболее неустойчивого пакета волн описывается уравнением в частных производных

где  с – комплексная константа.

Оно перестаёт быть верным, как только проявляется нелинейность. В случае слабонелинейной модуляции следует дополнить следующими членами разложения, чтобы получить уравнение Гинзбурга-Ландау

где – другая комплексная константа (константа Ландау).

 

Рис. 2. Нейтральная кривая для течения Блазиуса

 

Это уравнение нашло применение не только в гидродинамике, но и в других разделах физики (Крейк, 1985). Если  то зависимость от  x несущественна, уравнение Гинзбурга-Ландау переходит в уравнение Ландау

Это уравнение вывел Л. Д. Ландау эвристическим способом в 1944 году. Впоследствии оно нашло многочисленные конкретные применения.

При  вязкие члены в уравнении Орра-Зоммерфельда исчезают, и оно переходит в уравнение Рэлея – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка, описывающее устойчивость плоскопараллельных течений идеальной жидкости. Как показал Рэлей, в этом случае течение устойчиво, если профиль скорости не имеет точек перегиба.

В общем случае гладкого плоского течения идеальной жидкости ситуация оказалась не столь простой. Достаточный критерий устойчивости получен В. И. Арнольдом (2007). Стационарное течение устойчиво, если его функция тока  при наличии некоторых констант  удовлетворяет неравенству

Были получены достаточные условия устойчивости для течений со свободными границами (Седенко,  1978), для стратифицированных течений (Владимиров, 1986), а также для течений, содержащих разрывы (Владимиров, 1988).

Вопросы  устойчивости трёхмерных течений идеальной жидкости и  устойчивости плоских течений по отношению к трёхмерным возмущениям оказались сложными, в общем виде  не решёнными. Критерия неустойчивости течений в произвольных границах пока не найдено. Некоторые нерешённые проблемы устойчивости трёхмерных течений указаны в книге Арнольда (2007).

Под воздействием возмущений пограничный слой расслаивается на несколько асимптотических слоёв. В каждом из них возмущения развиваются различным образом.

В теории вязко-невязкого взаимодействия  задача об устойчивости пограничного слоя свелась к интегро-дифференциальному уравнению Бенджамина-Оно (см. Жук, 2001):

где  продольная составляющая скорости на верхней границе пограничного слоя.

Поиск несобственных решений, возникающих под действием внешних причин, составляет содержание теории восприимчивости (receptivity) течений, которая описывается уравнениями с неоднородными начально-краевыми условиями (Бойко и др., 2006).

На этом месте не хочется ставить точку – асимптотические методы исследования гидродинамической устойчивости и сейчас не покидают пиковую фазу своего развития. Обнаружены солитоны, резонансные тройки волн, различные режимы стохастизации течений и многое другое.

Структура ламинарного следа. В реальных условиях (при умеренных и больших числах Рейнольдса) след за обтекаемым телом турбулентный. Поэтому ламинарная модель следа является артефактом, представляющим лишь академический интерес. Такая идеализация возможна лишь при полном отсутствии в потоке возмущений.

Рис. 3. Схемы ближнего (а), среднего (б) и дальнего (в) следов

Теория плоского следа при больших числах Рейнольдса ( ) разработана В. В. Сычёвым (1987). Ближннй след размером  где – характерный размер тела, представляет собой течение Гельмгольца ( рис. 3а). Средний след ( рис. 3б) – это вихревая зона размером   обтекаемое тело стянуто в точку. Дальний след ( рис. 3в) – это  автомодельная диффузия вихря, средний след стянут в точку. Однако в рамках таких предположений построить стационарное решение не удалось. На самом деле течение в вытянутой вихревой зоне неустойчиво – оно дробится на более мелкие и менее вытянутые ячейки.

Такой «ламинарный сценарий» перехода к турбулентности подразумевает, что образуется вихревой кластер, содержащий N(Re)=0, 2, 10, 14, 18…  замкнутых «треугольных» структур (Бетяев, 2006). C ростом Re число N  прерывно увеличивается,  при Re . Ячеистый след при N=10 и 14 показан на рис. 4. След Сычёва – частный случай ячеистого следа при N=2.

В отличие от схемы Эфроса такая схема течения реальна, так как скорость возвратной струйки (y=0) знакопеременна.

 

 

Рис. 4. Ячеистый след: а-N=10, б- N=14

 

Взрыв вихря. Взрыв или распад вихря  связан с возникновением на его оси критической точки, за которой располагается область возвратного течения. Различают осесимметричную и спиралевидную формы взрыва. В первом случае струйки тока штопорообразно закручиваются, а во втором случае сохраняется двумерный характер движения.

Взрыв вихря наблюдается на крыльях малого удлинения, в торнадо, в газотурбинных двигателях и в любых потоках со значительной закруткой. Взрыв вихря в турбулентном потоке может существенно влиять на его структуру.

Имеется много сценариев появление взрыва. Это объясняется как тем, что на практике наблюдается много типов этого явление, так и тем, что ещё не произошёл отбор «правильных» теорий.

Х. Б. Сквайр выдвинул идею о том, что волны могут распространяться не только вниз по потоку, но и вверх. В теории «запертой волны» постулируется, что в критическом режиме волны не проникают вверх по потоку; возникает «волновой барьер», приводящий в результате к взрыву вихря (Лейбович, 1979).

Теории, основанные на модели идеальной жидкости (Сэффмен, 2000), нельзя считать удовлетворительными, потому что они не определяют начало или положение взрыва.

Критерием взрыва может являться появление особенности, аналогичной особенности Гольдштейна – Ландау в теории локального отрыва пограничного слоя.

Асимптотическую ( ) теорию взрыва вихревой нити построил Вик. В. Сычёв (1993). Область возвратного течения представляла собой эллипсоид с продольной осью порядка  и поперечной осью порядка  Как и в задаче о среднем следе, стационарного решения в окрестности задней вершины эллиптического пузыря найти не удалось.

Тригуб (1986), изучая возможность продолжения решения за критическую точку, нашёл особое решение, обладающее таким свойством.

В другой работе Тригуба (1987) изучено влияние неблагоприятного градиента давления на взрыв вихря. В нестационарном случае в области взаимодействия обнаружил уединённые волны, а  в стационарном случае – неединственность  решения. 

Асимптотическая теория взрыва безграничного экспоненциально затухающего вихря построена в работе Тригуба  (1994). Использовалась квазицилиндрическая аппроксимация уравнения Навье  – Стокса. При критической величине циркуляции возникала седловая бифуркация, через которую решение можно было продолжить двумя способами: суперкритическая ветвь, устремляющаяся  вниз по потоку к пределу Бэтчелора, и субкритическая ветвь, упирающаяся во вторую особую точку – узловую. За этой точкой возмущения могут распространяться вверх по потоку подобно тому, как это происходит в режиме сильного гиперзвукового взаимодействия пограничного слоя (Нейланд, 2003).

За второй особой точкой получено численное решение задачи и показано, что схема течения с большими зонами обратных токов существует. Процесс экспоненциального расширения зоны обратных токов прекращается из-за эллиптических эффектов. Предложена асимптотическая теория больших зон обратных токов, включающая вязкие и эллиптические эффекты.

 

 

 

Литература

 

Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. 

2004. Асимптотическая математика и синергетика. М.: УРСС.

Арнольд В. И., Хесин Б.А.

2007. Топологические методы в гидродинамике. М.: МЦНМО.

Бетяев С. К.

2006. Пролегомены к метагидродинамике. Москва-Ижевск: РХД.

2007а. Обтекание вершины клина идеальной несжимаемой жидкостью //   ПМТФ. Т. 48. №2.

2007б. К теории тонкого тела //  ИФЖ. Т. 80. №5.

Бетяев С. К., Гайфуллин А. М.

2001. Спиральные вихри. М.: ЦАГИ.

Бойко А. В., Грек Г. Р., Довгаль А. В., Козлов В. В.

2006. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях. Москва-Ижевск: РХД.

Ван-Дайк М.

1967. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир.

Владимиров В. А.

1986. Аналоги теоремы Лагранжа в гидродинамике завихренной и    стратифицированной жидкости // ПММ. Т.50. Вып. 5.

1988. Условия устойчивости течений идеальной жидкости с разрывами вихря // ПМТФ. №1.

Гуревич М. И.

1979. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука.

Дразин Ф. 

2005. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит.

Жук В. И.

2001. Волны Толмина-Шлихтинга и солитоны. М.: Наука.

Ильин А. М.

1989. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. Клайн М.

1984.Математика. Утрата определённости. М.: Мир.

М.: Наука.

Крейк  А. Д. Д. (Craik A. D. D.)

1985. Wave interaction and fluid flows. Cambridge: Univ. Press.

Лейбович С.

1979. Распад вихря. – В сб. «Вихревые движения жидкости», М.: Мир, 1979.

Нейланд В. Я. и др.

2003. Асимптотическая теория сверхзвуковых течений вязкого газа. М.: Физматлит.

Седенко В. И., Юдович В. И.

1978. Устойчивость стационарных течений идеальной жидкости со свободной границей // ПММ. Т. 42. Вып. 6.

Сычёв В. В. (ред.)

1987.  Асимптотическая теория отрывных течений. М.: Наука.

Сычёв Вик. В.

1993. Асимптотическая теория разрушения вихря. // МЖГ. № 3.

Сэффмен Ф. Дж.

2000. Динамика вихрей. М.: Научный мир.

Тригуб В. Н.

1986. О течении в окрестности точки торможения осесимметричного следа. // МЖГ. № 2.

1987. Асимптотическая теория возникновения рециркуляционных зон в осесимметричном следе под воздействием неблагоприятного градиента давления // МЖГ. № 5.

Тригуб, Блохин, Симакин ( Trigub V. N., Blokhin A. B., Simakin I. N.)

1994. The asymptotic study of dissipation and  breakdown of a wing-tip vortex // J. Fluid Mech. V. 274.

Хазен А. М.

1998. Законы природы и «справедливое общество». М.: АОЭТ «УРСС».

Шлихтинг Г.

1974.Теория пограничного слоя. М. Наука.

 

 

/ back /